آموزش فصل ششم ریاضی هشتم | هندسه و مثلثات | همنهشتی مثلث ها | استاد نیکخو | درس و مدرسه ( مومکا )

اعداد فیثاغورسی

در دوران قدیم، مصریان میدانستند که مثلثی به طول اضلاع ۳ و ۴ و ۵  قائم الزاویه است. امروزه دلیل این مطلب با توجه به قضیه ی فیثاغورس روشن است زیرا:

۳ ^۲ + ۴ ^۲ = ۵ ^۲       ۹ + ۱۶ = ۲۵ 

به سه تایی هایی مانند (۳و۴و۵) که اعداد طبیعی اند و اضلاع یک مثلث قائم الزاویه را تشکیل میدهند سه تایی های فیثاغورسی می گویند. حال سؤال این است که چگونه میتوان تمامی سه تایی های فیثاغورسی را شناسایی کرد. در ادامه ، میخواهیم به این سؤال پاسخ دهیم:

الف. اگر a, b , c  سه تایی فیثاغورسی باشد، آنگاه  ka, kb, kc هم سه تایی های فیثاغورسی هستند. ( k یک عدد طبیعی است). به چنین سه تایی هایی ، سه تایی های  متشابه میگوییم. مثلاً (۳و۴و۵) و (۶و۸و۱۰) متشابه است.

 ب. دو سه تایی ( ۳و۴و۵ ) و (۵ و ۱۲و ۱۳ ) هر دو فیثاغورسی اند اما سه تایی های متشابه نیستند . 

 با استفاده از رابطه زیر می توان بی شمار سه تایی فیثاغورسی غیرمتشابه ساخت .   

 (a ^۲ – b ^۲ ) ^۲ + (۲ab) ^۲ = (a ^۲ + b ^۲ ) ^۲ 

a , b  هر دو عدد طبیعی هستند مثال : 

  a= 5 , b=2 

 (۵ ^۲ – ۲ ^۲ ) ^۲ + (۲*۵*۲) ^۲ = (۵ ^۲ +۲ ^۲ ) ^۲ 

( ۲۵ – ۴ ) ^۲  + ( ۲۰ ) ^۲ = ( ۲۵ +۴ ) ^۲ 

 ( ۲۱ , ۲۰ , ۲۹ )  سه تایی فیثاغورسی هستند.